最尤法(ポアソン分布)

確率変数 X がポアソン分布に従うとき、その確率質量関数は以下のように書くことができる。λ > 0 はポアソン分布のパラメーターである。

\[ f(X;\lambda) = \frac{\lambda ^{X}}{X!}e^{-\lambda} \]

ここで、ポアソン分布に従う観測値 x1, x2, ..., xn がある場合、そのポアソン分布のパラメーターを最尤法で求める例を示す。

n 個の観測値がそれぞれ独立である場合、その同時確率関数は以下のようにかける。

\[ \begin{eqnarray} f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}; \lambda) &=& \prod_{i=1}^{n}f(x_{i};\lambda) \\ &=& \prod_{i=1}^{n}\frac{\lambda ^{x_{i}}}{x_{i}!}e^{-\lambda} \\ &=& \lambda^{\sum_{i=1}^{n}x_{i}} \frac{1}{\prod_{i=1}^{n}x_{i}!} e^{-n\lambda} \end{eqnarray} \]

その対数尤度関数は以下のように表せる。

\[ \begin{eqnarray} l(\lambda; x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) &=& \log L(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}; \lambda) \\ &=& \log f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}; \lambda)\\ &=& {\sum_{i=1}^{n}x_{i}}\log \lambda + \frac{1}{\prod_{i=1}^{n}x_{i}!} -n\lambda \end{eqnarray} \]

ここで、\(\frac{\partial l}{\partial \lambda} = 0\) を計算すると、

\[ \begin{eqnarray} \frac{\partial l}{\partial \lambda} = 0 &\Leftrightarrow& \sum_{i=1}^{n}x_{i}\frac{1}{\lambda} - n=0 \\ &\Leftrightarrow& \lambda = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i} \end{eqnarray} \]