最尤法(二項分布)

二項分布は成功か失敗かのいずれかである試行を、n 回独立に行った時に成功した回数 x が従う確率分布である。その確率質量関数は以下のように表される。

\[ f(x; n, p) = \begin{pmatrix}n \\ x \end{pmatrix} p^{x}(1-p)^{n-x} \]

成功回数が x = m 回のとき、成功確率 p を最尤法により求めることができる。

尤度関数は確率質量関数と同じ形であるため、その対数尤度関数は以下のように書ける。

\[ \begin{eqnarray} l(p; n, m) &=& \log L(p; n, m) = \log f(x; n, p) \\ &=& \log \begin{pmatrix}n \\ m \end{pmatrix} p^{m}(1-p)^{n-m} \\ &=& \log \begin{pmatrix}n \\ m \end{pmatrix} + m\log p + (n-m)\log (1-p) \end{eqnarray} \]

このとき、\( \frac{\partial l}{\partial p} = 0\) を考えると、

\[ \begin{eqnarray} \frac{\partial l}{\partial p} = 0 & \Leftrightarrow & m\frac{1}{p} - (n-m)\frac{1}{1-p} = 0\\ & \Leftrightarrow & p = \frac{m}{n} \end{eqnarray} \]