確率変数

確率変数 (random variable)

確率変数は、前もって知ることのできない何らかの試行の結果を表す変数である。

例えば、サイコロを振る試行において、その試行の結果は 1、2、3、4、5、6 のどれかとなる。試行前ではどの目が出るのかが不明であるため、それを変数 X とおく。そして、試行後に得られた結果を変数に代入する。例えば、試行後に 6 の目が出たならば、X = 6 とする。

ほかの例として、ある植物についてその一週間の草丈の長さを考えるとき、現時点では予測不可能であることから、これを変数 X とおく。そして、一週間後に実際の草丈の長さを測り、12.0 cm ならば X = 12.0 となる。

以上で見られるように、確率変数は離散値を取るものと連続値を取るものとがある。サイコロを振る試行やコインを投げる試行などの場合は、試行結果が離散値となる。一方、身長や体重を測る試行等の場合は、試行結果が連続値となる。

確率質量関数 (probability mass function)

数列{pn}があり、\( \forall k\ge 0, \forall p_{k}\ge 0 \)で、かつ \( \sum_{k=0}^{\infty}p_{k}=1 \)のとき、

\[ p_{k} =P(X=k), k=0,1,2,... \]

ならば、pn を X の確率質量関数という。単に確率関数(probability function)とも言う。

また、

\[ F(k)=P(X\le k)=\sum_{i\le k}p_{k} \]

となる F(k) を X の累積分布関数(cumulative distribution function)という。単に分布関数(distribution function)ともいう。

確率密度関数 (probability density function)

確率変数が\( (-\infty,\infty) \)において連続かつ \( \int_{- \infty}^{\infty}f(x)dx=1 \) となる非負数関数が存在し、任意の区間 (a, b) において、

\[ P(a \lt X \lt b)= \int_{a}^{b}f(x)dx \]

ならば、f(x) を X の確率密度関数という。

また、

\[ F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt \]

となる F(x) をX の累積分布関数という。