ポアソン分布

ポアソン分布は、稀にしか起こらない事象を解析するときによく利用されるモデルである。定数 λ を正の整数とする。「稀にしか起こらない事象」が k 回起きたときの確率分布は次のようになる。

\[ P(X=k) = \frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda} \]

この確率関数は 二項分布 の確率関数から導ける。事象の起こるを p (<< 1) とします。確率が p 、試行回数が n のとき、その事象が生じる回数 X の分布について計算すると次のようになる。

\[ \begin{eqnarray} P(X=k) &=& \left( \begin{array}{c}n\\ k\end{array} \right) p^{k}(1-p)^{n-k}\\ &=& \frac{n\cdots (n-k+1)}{k!}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^{k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}\\ &=& \left(\frac{\lambda^{k}}{k!}\right)\left\{1\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k+1}{n}\right)\right\}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}\\ &\rightarrow& \frac{\lambda^{k}}{k!}\cdot (1\cdot 1 \cdots)\cdot e^{-\lambda} (n\to\infty) \end{eqnarray} \]

ポアソン分布の期待値と分散は同じである。

\[ E(X) = \lambda \] \[ V(X) = \lambda \]

ポアソン分布のモーメント母関数。

\[ M_{X}(t) = \exp\left(\lambda (e^{t}-1)\right) \]

ポアソン分布は再生性を持つ。例えば、

\[ X_{1} \sim \mathbf{P}(\lambda_{1}) \] \[ X_{2} \sim \mathbf{P}(\lambda_{2}) \]

のとき、Y = X1 + X2 として、確率変数 Y もポアソン分布に従う。

\[ \begin{eqnarray} M_{Y}(t) &=& M_{X_{1}}(t)M_{X_{2}}(t)\\ &=& \exp\left( \lambda_{1}(e^{t}-1) \right) \exp\left( \lambda_{2}(e^{t}-1) \right)\\ &=& \exp\left( (\lambda_{1} + \lambda_{2})(e^{t} - 1) \right)\\ \therefore Y &\sim & \mathbf{P}(\lambda_{1} + \lambda_{2}) \end{eqnarray} \]

ポアソン分布のパラメーターである λ は定数である。そこで、λ をガンマ分布に従うものとした場合、ポアソン分布は負の二項分布になる。(参照:負の二項分布