確率母関数

確率変数 X がゼロ以上の整数値を取るとき、確率関数 p(x) = P(X=x) に対して、次のように定義される HX(t) を確率母関数(probability generating function)という。

\[G_{X}(t) = \sum^{\infty}_{x=0}p(x)t^{x}\]

確率母関数は確率変数が正の値の時に定義される関数である。これに対して、確率変数が負の値でも定義されている関数あり、モーメント母関数と呼ばれている。

確率母関数の性質

確率母関数から期待値や分散を求めることができ、また以下に示す性質を持つ。

  • X の期待値を E(X) とすると、\(E(X) = G_{X}^{'}(1)\)
  • X の分散を Var(X) とすると、\(Var(X) = G_{X}^{''}(1) + G_{X}^{'}(1) - \{G_{X}^{'}(1)\}^{2}\)
  • X のモーメント母関数を MX(t) とすると、\( M_{X}(t) = G_{X}(e^{t}) \) が成り立つ。
  • X の k 次の階乗モーメントを μ[k] としたとき、
    \[ \mu _{[k]} = G_{X}^{k}(1) = \left . \frac{d^{k}}{dt^{k}}G_{X}(t)\right |_{t=1}\]
    が成り立つ。
  • Z = X + Y のとき、Z の確率母関数は \(G_{Z}(t) = G_{X}(t)G_{Y}(t)\) となる。

様々な分布の確率母関数

分布 分布関数 確率母関数
ポアソン分布 \( \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda} \) \( e^{\lambda (t - 1)} \)
二項分布 \( \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} p^{k}(1-p)^{n-k} \) \( (1-p+pt)^{n} \)