モーメント母関数

モーメント母関数 (moment-generating function)

母関数は生成関数とも呼ばれ、次のように定義される。

数列\( a_{n} = a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{n}, \cdots \)に対して、それを係数に持つ ∞ 次関数を

\[ f(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \cdots + a_{n}x^{n} + \cdots \]

としたとき、f(x) のことを母関数という。また、{an} を f(x) の係数列という。

ある確率変数 X に対して、そのモーメント母関数 MX は次のように定義される。

\[ M_{X}(t) = E(e^{tx}) = \left\{ \begin{array}{l} \sum_{x\in X}e^{tx}P(X=x) \\ \int_{- \infty}^{\infty}e^{tx}f_{X}(x)dx \end{array} \right . \]

モーメント母関数の性質

実数 a, b を用いて、確率変数 Y を Y = aX + b としたき、Y のモーメント母関数は X のモーメント母関数 MX(t) を用いて次のように計算できる。

\[ Y = aX+b ⟹ M_{Y}(t) = e^{bt}M_{X}(at) \]

また、Z = X + Y とした時、Z のモーメント母関数は次のように計算できる。

\[Z = X+Y ⟹ M_{Z}(t) = M_{X}(t)M_{Y}(t) \]

モーメント

確率変数 X の期待値を E(X) と書き、μ = E(X) としたとき、モーメントは次のように定義される。

  • μk' = E(Xk) を k 次の原点のまわりのモーメントという
  • μk = E((X-μ)2) を k 次の原点まわりの平均値という
  • μ[k] = E(X(X-1) - (X-k+1)) を k 次の階乗モーメントという

2 次の原点まわりのモーメントの平均値は、確率変数 X の分散に等しい。

\[ \begin{eqnarray} \mu_{2} &=& E((X-\mu)^{2}) \\ &=& E(X^{2} - 2\mu X + \mu^{2}) \\ &=& E(X^{2}) - 2\mu E(X) + \mu^{2} = E(X^{2}) - \mu^{2} \end{eqnarray} \]

k 次の原点のまわりのモーメントとモーメント母関数の間に、次の関係が成り立つ。

\[ \mu ' = M_{X}^{(k)}(0) = \left . \frac{d^{k}}{dt^{k}}M_{X}(t) \right |_{t=0} \]

歪度と尖度

確率分布の形の特徴を表す指標として、歪度と尖度がある。歪度は分布の対称性を示す指標であり、尖度は分布の尖りの具合を示す指標である。

歪度は次式によって定義される。分布が正規分布のとき、分布は左右対称であるため歪度はゼロになる。

\[ \beta_{1} = \frac{\mu_{3}}{\sigma^{3}} \]

尖度は次式によって定義される。正規分布の尖度はゼロである。

\[ \beta_{2} = \frac{\mu_{4}}{\sigma{4}} - 3 \]

なお、正規分布の尖度を 3 と定義する場合もある。このとき、尖度は次のように計算する。

\[ \beta_{2} = \frac{\mu_{4}}{\sigma{4}} \]