連続型確率分布

分布関数は確率変数によって、それぞれ次のようにグループ分けすることができる。

分布方型主な分布
連続型分布正規分布、一様分布、指数分布、対数正規分布、ガンマ分布、ベータ分布、カイ自乗分布、t分布、F分布、コーシー分布、ロジスティック分布、ワイブル分布
離散型分布二項分布、負の二項分布、ポアッソン分布、幾何分布、超幾何分布、多項目分布

正規分布

\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^{2}}\right)\] \[F(x)=\frac{1}{2}\left(1 + erf\frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^{2}}}\right)\]
関数パラメーター
乱数関数rnorm(n, mean=0, sd=1)
密度関数dnorm(x, mean=0, sd=1, log=FALSE)
分布関数pnorm(x, mean=0, sd=1, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)
クォンタイル関数qnorm(x, mean=0, sd=1, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)

一様分布

\[f(x)=\frac{1}{\beta-\alpha}\]
関数パラメーター
乱数関数runif(n, min=0, max=1)
密度関数dunif(x, min=0, max=1, log=FALSE)
分布関数punif(x, min=0, max=1, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)
クォンタイル関数qunif(x, min=0, max=1, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)

指数分布

\[f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\] \[F(x) = 1 - e^{-\lambda x} \]
関数パラメーター
乱数関数rexp(n, rate=0)
密度関数dexp(x, rate=0, log=FALSE)
分布関数pexp(x, rate=0, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)
クォンタイル関数qexp(x, rate=0, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)

対数正規分布

\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}x}exp\left(-\frac{(\ln x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right)\] \[F(x)=\frac{1}{2}erf\left(-\frac{\ln x - \mu}{\sqrt{2\sigma^{2}}}\right)\]
関数パラメーター
乱数関数rlnorm(n, meanlog=0, sdlog=1)
密度関数dlnorm(x, meanlog=0, sdlog=1, log=FALSE)
分布関数plnorm(x, meanlog=0, sdlog=1, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)
クォンタイル関数qlnorm(x, meanlog=0, sdlog=1, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)

ガンマ分布

\[ f(x) = \frac{x^{k-1}e^{-x/\theta}}{\Gamma(k)\theta^{k}} \] \[ F(x) = \frac{\gamma(k, \frac{x}{\theta})}{\Gamma(k)} \]
関数パラメーター
乱数関数rgamma(n, shape, rate=1, scale=1/rate)
密度関数dgamma(x, shape, rate=1, scale=1/rate, log=FALSE)
分布関数pgamma(x, shape, rate=1, scale=1/rate, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)
クォンタイル関数qgamma(x, shape, rate=1, scale=1/rate, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)

ベータ分布

\[f(x)=\frac{x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta - 1}}{B(\alpha,\beta)}\]
関数パラメーター
乱数関数rbeta(n, shape1, shape2)
密度関数dbeta(x, shape1, shape2, ncp=0, log=FALSE)
分布関数pbeta(x, shape1, shape2, ncp=0, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)
クォンタイル関数qbeta(x, shape1, shape2, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)

カイ自乗分布

自由度:df、非心度パラメーター:ncp

関数パラメーター
乱数関数rchisq(n, df, ncp=0)
密度関数dchisq(x, df, ncp=0, log=FALSE)
分布関数pchisq(x, df, ncp=0, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)
クォンタイル関数qchisq(x, df, ncp=0, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)

t分布

\[ f(x) = \frac{\Gamma(\frac{\nu +1}{2})}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})} \left(1+\frac{x^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu +1}{2}} \]
関数パラメーター
乱数関数rt(n, df, ncp=0)
密度関数dt(x, df, ncp=0, log=FALSE)
分布関数pt(x, df, ncp=0, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)
クォンタイル関数qt(x, df, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)

F分布

自由度:df1,df2、非心度パラメーター:ncp

関数パラメーター
乱数関数rf(n, df1, df2,)
密度関数df(x, df1, df2, log=FALSE)
分布関数pf(x, df1, df2, ncp=0, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)
クォンタイル関数qf(x, df1, df2, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)

コーシー分布

位置:location、スケール:scale

関数パラメーター
乱数関数rcauchy(n, location=0, scale=1)
密度関数dcauchy(x, location=0, scale=1, log=FALSE)
分布関数pcauchy(x, location=0, scale=1, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)
クォンタイル関数qcauchy(x, location=0, scale=1, lower.tail=TRUE, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)

ロジスティック分布

位置:location、スケール:scale

関数パラメーター
乱数関数rlogis(n, location=0, scale=1)
密度関数dlogis(x, location=0, scale=1, log=FALSE)
分布関数plogis(x, location=0, scale=1, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)
クォンタイル関数qlogis(x, location=0, scale=1, lower.tail=TRUE, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)

ワイブル分布

関数パラメーター
乱数関数rlogis(n, shape, scale=1)
密度関数dlogis(x, shape, scale=1, log=FALSE)
分布関数plogis(x, shape, scale=1, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)
クォンタイル関数qlogis(x, shape, scale=1, lower.tail=TRUE, lower.tail=TRUE, log.x=FALSE)