カイ二乗分布

確率変数 Xi が平均 μi、分散 σ2i の正規分布に従う時、その z 統計量はカイ二乗分布に従う。

\[ \begin{eqnarray} X_{i} &\sim& N(\mu, \sigma^{2}) \hspace{2em} (i = 1,2,\cdots, n) \\ Z &=& \sum_{i}^{n}\left( \frac{X_{i} - \mu_{i}}{\sigma_{i}} \right)^{2} \\ Z &\sim& \chi (n) \end{eqnarray} \]

カイ二乗分布の確率関数。

\[ f(x;n) = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{1}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} & (x \ge 0)\\ 0 & (x < 0) \end{array} \right . \]