キュムラント母関数

確率変数 X のモーメント母関数 MX(t) に対し、

\[ K_{X}(t) = \log(M_{X}(t)) \]

となる関数 KX(t) をキュムラント母関数という。

キュムラント母関数を級数展開したとき、その係数列をキュムラントという。また、係数 κn を n 次のキュムラントという。

\[ K_{X}(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!}\kappa _{n} = 0 + t\kappa _{1} + \frac{t^{2}}{2!}\kappa _{2} + \cdots \]

n 次キュムラントは次のように計算できる。

\[ \kappa_{n} = \left . \frac{\partial ^{n}}{\partial t^{n}}K_{X}(t) \right | _{t=0} \]

Z = X + Y のとき、Z のキュムラント母関数は X と Y のそれを用いて次のように計算できる。

\[ Z = X + Y \Longrightarrow K_{Z}(t) = K_{X}(t)+K_{Y}(t) \]

キュムラントと歪度 β1 ・尖度 β2 との間は次の関係が成り立つ。

\[ \begin{eqnarray} \beta_{1} = \frac{\kappa_{3}}{\kappa_{2}^{\frac{3}{2}}}\\ \beta_{2} = \frac{\kappa_{4}}{\kappa_{2}^{2}} \end{eqnarray} \]