ベータ二項分布

確率 p でオモテ面になるコインを n 回投げたとき、オモテ面となった回数は二項分布に従う。これに対して、オモテ面になる確率 p が定数ではなく、ベータ分布に従う変数としたとき、オモテ面の出る回数はベータ二項分布に従うようになる。

すなわち、

\[ p \sim \mathbf{Beta}(a, b)\] \[ X \sim \mathbf{BB}(n, a,b) \]

ベータ二項分布の確率関数は次の用になっている。。

\[ f(x) = P(X=k) = \left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)\frac{\frac{\Gamma(a+k)}{\Gamma(a)}\frac{\Gamma(b+n-k)}{\Gamma(b)}}{\frac{\Gamma(a+b+n)}{\Gamma(a+b)}} \]

ベータ二項分布の期待値と分散を示している。

\[ \begin{eqnarray} E(X) &=& n\frac{a}{a+b}\\ V(X) &=& n\frac{ab}{(a+b)^2}\frac{a+b+n}{a+b+1} \end{eqnarray} \]