Williams 検定

ウィリアムズ Williams 検定法は多群間比較検定法の一つで、母平均に単調性が想定されるときに利用する検定法である。ただし、この検定法を利用するには、データに対照群と1つ以上の実験群があり、ともに正規分布に従い、互いの母平均が等しいと仮定する必要がある。

データ配置

Williams検定に用いる各群のデータを次のように配置する。

実験群データ個数合計平均分散
1x11, x12, .. ,x1n1n1T1μ1σ21
2x21, x22, .. ,x2n2n2T2μ2σ22
3x31, x32, .. ,x3n3n3T3μ3σ23
axa1, xa2, .. ,xananaTaμaσ2a

Williams 検定に必要な統計値

Williams 検定に用いる統計値は、標本平均、標本不偏分散、誤差自由度と誤差分散の四種類です。

μi =j=1 ni xij ni
σ2 =j=1 ni ( xij -μi )2 ni -1
φE =N-a= j=1 a nj -a
VE = j=1 a( nj -1) σj 2 φE

t 検定値

次に、t 検定値を求めるために、統計量 yip を計算する。ここで、p = a(実験群と対照群の数)とする。

\[ y_{2p} = \frac{T_{2}+T_{3}+\cdots + T_{p}}{n_{2} + n_{3} + \cdots + n_{p}} \] \[ y_{3p} = \frac{T_{3}+T_{4}+\cdots + T_{p}}{n_{3} + n_{4} + \cdots + n_{p}} \] \[ \cdots \] \[ y_{pp} = \frac{T_{p}}{n_{p}} \] \[ M_{p} = max\{y_{2p},y_{3p},\cdots,y_{pp}\} \]

Mp を利用して t 検定値を求める。

tp =| μp - μ1 | VE (1 np +1 n1 )

この統計量 t 値について、

  • tp<W(p, φE,; α) ならば帰無仮説を保留して、検定を終了する。すなわち、μ1 = μ2 = ... = μp である。
  • tp≥W(p, φE,; α) ならば帰無仮説を棄却する。すなわち、μp1 である。続いて、p = p - 1として、Mp を求めて再度検定する。